Олимпиадные задачи из источника «XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)
НазадЧетырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i> и вписан в окружность Ω. Прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность ω треугольника <i>PIQ</i> перпендикулярна Ω.
Сфера, вписанная в пирамиду <i>SABC</i>, касается граней <i>SAB, SBC, SCA</i> в точках <i>D, E, F</i> соответственно.
Найдите все возможные значения суммы углов <i>SDA, SEB</i> и <i>SFC</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB', CC'</i>. Через <i>A</i> и <i>C'</i> проведены две окружности, касающиеся <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>.
Докажите, что точки <i>A, B', P, Q</i> лежат на одной окружности.
Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть ω<sub><i>A</i></sub>, ω<sub><i>B</i></sub>, ω<sub><i>C</i></sub>, ω<sub><i>D</i></sub> – описанные окружности треугольников <i>BCD, ACD, ABD, ABC</i> соответственно. Обозначим через <i>X<sub>A</sub></i> произведение степени точки <i>A</i> относительно ω<i>A</i> на площадь треугольника <i>BCD</i>. Аналогично определим <i>X<sub>B</sub>, X<sub>C</sub>, X<sub>D</sub></i>. Докажите, что <i>X<sub>A</sub> + X<sub>B</sub> + X<sub>C</sub> + X<sub>D</sub></i> = 0.
Докажите, что в остроугольном треугольнике расстояние от любой вершины до соответствующего центра вневписанной окружности меньше чем сумма двух наибольших сторон треугольника.
Даны два тетраэдра. Ни у одного из них нет двух подобных граней, но каждая грань первого тетраэдра подобна какой-то грани второго.
Обязательно ли эти тетраэдры подобны?
Даны прямоугольный треугольник <i>ABC</i> и две взаимно перпендикулярные прямые <i>x</i> и <i>y</i>, проходящие через вершину прямого угла <i>A</i>. Для точки <i>X</i>, движущейся по прямой <i>x</i>, определим <i>y<sub>b</sub></i> как образ прямой <i>y</i> при симметрии относительно <i>XB</i>, а <i>y<sub>c</sub></i> – как образ прямой <i>y</i> при симметрии относительно <i>XC</i>. Пусть <i>y<sub>b</sub></i> и <i>y<sub>с</sub></i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Найдите геометрическое место точек <i>Y</i> (для несовпадающих <i>y<sub>b</sub&g...
На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?