Олимпиадные задачи из источника «VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)» для 4-8 класса - сложность 3 с решениями
VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)
НазадНа хорде <i>AC</i> окружности ω выбрали точку <i>B</i>. На отрезках <i>AB</i> и <i>BC</i> как на диаметрах построили окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub>, которые пересекают ω второй раз в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Лучи <i>O</i><sub>1</sub><i>D</i> и <i>O</i><sub>2</sub><i>E</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Лучи <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке <i>G</i>.
Докажите, что прямая <i>FG</i> проходит через середину <i>AC</i>....
Дан треугольник <i>ABC</i>. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне <i>AB</i> такую точку <i>D</i>, что
<i>AD</i> : <i>BD = BC</i> : <i>AC</i>.
Назовём точку внутри треугольника <i>хорошей</i>, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?
В треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. Точки <i>I<sub>b</sub></i> и <i>I<sub>c</sub></i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABH</i> и <i>CAH</i>; <i>L</i> – точка касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Найдите угол <i>LI<sub>b</sub>I<sub>c</sub></i>.
Через вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, перпендикулярная медиане <i>BM</i>. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин <i>A</i> и <i>C</i> (или их продолжения), в точках <i>K</i> и <i>N</i>. Точки <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBN</i> соответственно. Докажите, что <i>O</i><sub>1</sub><i>M = O</i><sub>2</sub><i>M</i>.
На стороне <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>M</i> и <i>N</i> (<i>M</i> лежит между <i>B</i> и <i>N</i>) , что ∠<i>MAN</i> = 30°. Описанные окружности треугольников <i>AMC</i> и <i>ANB</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>AK</i> содержит центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i>.
Биссектрисы <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. На отрезках <i>A</i><sub>1</sub><i>I</i> и <i>B</i><sub>1</sub><i>I</i> построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами <i>A</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>, лежащими на прямой <i>AB</i>. Известно, что прямая <i>CI</i> делит отрезок <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub> пополам. Верно ли, что треугольник <i>ABC</i> – равнобедренный?
Каждый из двух правильных многоугольников <i>P</i> и <i>Q</i> разрезали прямой на две части. Одну из частей <i>P</i> и одну из частей <i>Q</i> сложили друг с другом по линии разреза. Может ли получиться правильный многоугольник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть сторон?
Точки <i>E, F</i> – середины сторон <i>BC, CD</i> квадрата <i>ABCD</i>. Прямые <i>AE</i> и <i>BF</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что ∠<i>PDA</i> = ∠<i>AED</i>.
В равные углы <i>X</i><sub>1</sub><i>OY</i> и <i>YOX</i><sub>2</sub> вписаны окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, касающиеся сторон <i>OX</i><sub>1</sub> и <i>OX</i><sub>2</sub> в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub> соответственно, а стороны <i>OY</i> – в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>. <i>C</i><sub>1</sub> – вторая точка пересечения <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и ω<sub>1</sub>, а <i>C</i><sub>2</sub...
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> лучи <i>AB</i> и <i>DC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. На биссектрисе угла <i>AKD</i> нашлась такая точка <i>P</i>, что прямые <i>BP</i> и <i>CP</i> делят пополам отрезки <i>AC</i> и <i>BD</i> соответственно. Докажите, что <i>AB = CD</i>.
Даны две точки <i>A</i> и <i>B</i>. Найдите геометрическое место таких точек <i>C</i>, что точки <i>A, B</i> и <i>C</i> можно накрыть кругом единичного радиуса.