Олимпиадные задачи из источника «VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)» для 11 класса - сложность 2 с решениями
VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)
НазадДан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что ∠<i>ABD</i> + ∠<i>ACD</i> > ∠<i>BAC</i> + ∠<i>BDC</i>. Докажите, что <i>S<sub>ABD</sub> + S<sub>ACD</sub> > S<sub>BAC</sub> + S<sub>BDC</sub></i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты. Прямые <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>K</i>. Окружности, описанные вокруг треугольников <i>A</i><sub>1</sub><i>KC</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>KB</i><sub>1</sub>, вторично пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>N</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что
а) сумма диаметров этих окружностей равна...
Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан на три выпуклых многоугольника. У одного из них <i>n</i> сторон, у другого – больше чем <i>n</i>, у третьего – меньше чем <i>n</i>.
Каковы возможные значения <i>n</i>?
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> (∠<i>B</i> = 90°) проведена высота <i>BH</i>. Окружность, вписанная в треугольник <i>ABH</i>, касается сторон <i>AB, AH</i> в точках <i>H</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно; окружность, вписанная в треугольник <i>CBH</i>, касается сторон <i>CB, CH</i> в точках <i>H</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> соответственно. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>H</i><sub>1</sub><i>BH</i><sub>2</sub>. Докажите, что <i>OB</i><sub>1</sub> = <i>OB</i...
Каждая из двух равных окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> проходит через центр другой. Треугольник <i>ABC</i> вписан в ω<sub>1</sub>, а прямые <i>AC, BC</i> касаются ω<sub>2</sub>.
Докажите, что cos∠<i>A</i> + cos∠<i>B</i> = 1.