Олимпиадные задачи из источника «IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)» для 11 класса - сложность 4 с решениями

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.

Докажите, что они пересекаются.

Дана окружность ω и точка <i>A</i> вне её. Через <i>A</i> проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках <i>B</i> и <i>C</i>, а другая – в точках <i>D</i> и <i>E</i> (<i>D</i> лежит между <i>A</i> и <i>E</i>). Прямая, проходящая через <i>D</i> и параллельная <i>BC</i>, вторично пересекает ω в точке <i>F</i>, а прямая <i>AF</i> – в точке <i>T</i>. Пусть <i>M</i> – точка пересечения прямых <i>ET</i> и <i>BC</i>, а <i>N</i> – точка, симметричная <i>A</i> относительно <i>M</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>DEN</i&g...

а) Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>B</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Биссектрисы углов <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе <i>AL</i> в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>PC</i>₀ и <i>QB</i>₀ пересекаются на прямой <i>BC</i>.б) В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>AL</i>. Точки <i>O</i>₁ и <i>O</i><s...

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> являются проекциями вершин <i>B</i> и <i>C</i> на <i>AD</i>. Окружность с диаметром <i>MN</i> пересекает <i>BC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Докажите, что  ∠<i>BAX</i> = ∠<i>CAY</i>.

Вписанная в треугольник <i>ABC</i> окружность касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A', B', C'</i> соответственно. Перпендикуляр, опущенный из центра <i>I</i> этой окружности на медиану <i>CM</i>, пересекает прямую <i>A'B'</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что  <i>CK || AB</i>.