Олимпиадные задачи из источника «3 (2011 год)» для 8 класса - сложность 3-5 с решениями

Какое наибольшее количество белых и чёрных пешек можно расставить на клетчатой доске 9×9 (пешку, независимо от её цвета, можно ставить на любую клетку доски) так, чтобы никакая из них не била никакую другую (в том числе и своего цвета)? Белая пешка бьёт две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с бóльшим номером, а чёрная – две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с меньшим номером (см. рисунок).<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65099/problem_65099_img_2.jpg"></div>

По окружности записали красным пять несократимых дробей с нечётными знаменателями, большими 10¹⁰. Между каждыми двумя соседними красными дробями вписали синим несократимую запись их суммы. Могло ли случиться, что у синих дробей все знаменатели меньше 100?

Внутри выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB = CD</i>,  выбрана точка <i>P</i> таким образом, что сумма углов <i>PBA</i> и <i>PCD</i> равна 180°.

Докажите, что  <i>PB + PC < AD</i>.

Имеются три литровых банки и мерка объемом 100 мл. Первая банка пуста, во второй – 700 мл сладкого чая, в третьей – 800 мл сладкого чая. При этом во второй банке растворено 50 г сахара, а в третьей – 60 г сахара. Разрешается набрать из любой банки полную мерку чая и перелить весь этот чай в любую другую банку. Можно ли несколькими такими переливаниями добиться, чтобы первая банка была пуста, а количество сахара во второй банке равнялось количеству сахара в третьей банке?

За круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет?

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>М</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>АС</i> и <i>АВ</i> соответственно. На медиане <i>ВМ</i> выбрана точка <i>Р</i>, не лежащая на <i>CN</i>. Оказалось, что

<i>PC</i> = 2<i>PN</i>.  Докажите, что  <i>АР = ВС</i>.

Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения. Полученные суммы и произведения выписали на доску. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?