Олимпиадные задачи из источника «2016 год» - сложность 3-5 с решениями
Каждое целое число на координатной прямой покрашено в один из двух цветов – белый или чёрный, причём числа 2016 и 2017 покрашены разными цветами. Обязательно ли найдутся три одинаково покрашенных целых числа, сумма которых равна нулю?
Дана треугольная пирамида <i>ABCD</i> с плоскими прямыми углами при вершине <i>D</i>, в которой <i>CD = AD + DB</i>.
Докажите, что сумма плоских углов при вершине <i>C</i> равна 90°.
Германн и Чекалинский разложили на столе 13 различных карт. Каждая карта может лежать в одном из двух положений: рубашкой вверх или рубашкой вниз. Игроки должны по очереди переворачивать по одной карте. Проигрывает тот игрок, после хода которого повторится какая-то из предыдущих ситуаций (включая изначальную). Первый ход сделал Чекалинский. Кто сможет выиграть независимо от того, как будет играть соперник?
Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?
В прямоугольнике <i>ABCD</i> на диагонали <i>AC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что <i>CK = BC</i>. На стороне <i>ВС</i> отмечена точка <i>М</i> так, что <i>КМ = СМ</i>. Докажите, что <i>АK + ВМ = СМ</i>.
Иван Царевич хочет выйти из круглой комнаты с шестью дверями, пять из которых заперты на ключ. За одну попытку он может проверить любые три двери, расположенные подряд, и если одна из них не заперта, то он в неё выйдет. После каждой попытки Баба-Яга запирает дверь, которая была открыта, и отпирает одну из соседних дверей. Какую именно, Иван Царевич не знает. Как ему действовать, чтобы наверняка выйти из комнаты?