Олимпиадные задачи из источника «8 класс» - сложность 1-5 с решениями

Внутри равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечена произвольная точка <i>M</i>. Докажите, что можно выбрать на стороне <i>AB</i> точку <i>C</i>₁, на стороне <i>BC</i> – точку <i>A</i>₁, а на стороне <i>AC</i> – точку <i>B</i>₁ таким образом, чтобы длины сторон треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ были равны отрезкам <i>MA, MB</i> и <i>MC</i>.

В каждой клетке таблицы размером 13×13 записано одно из натуральных чисел от 1 до 25. Клетку назовём <i>хорошей</i>, если среди двадцати пяти чисел, записанных в ней и во всех клетках одной с ней горизонтали и одной с ней вертикали, нет одинаковых. Могут ли все клетки одной из главных диагоналей оказаться хорошими?

Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встаёт и уходит. Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться сидящими, если вначале все стулья были пустыми?

<i>ABCD</i> – выпуклый четырёхугольник. Известно, что  ∠<i>CAD</i> = ∠<i>DBA</i> = 40°,  ∠<i>CAB</i> = 60°,  ∠<i>CBD</i> = 20°.  Найдите угол <i>CDB</i>.

Сорока-ворона кашу варила, деток кормила. Третьему птенцу досталось столько же каши, сколько первым двум вместе взятым. Четвёртому – столько же, сколько второму и третьему. Пятому – столько же, сколько третьему и четвёртому. Шестому – столько же, сколько четвёртому и пятому. А седьмому не досталось – каша кончилась! Известно, что пятый птенец получил 10 г каши. Сколько каши сварила сорока-ворона?

Натуральное число <i>n</i> называется <i>хорошим</i>, если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на <i>n</i>. Запишите десять хороших чисел, которые меньше чем 1000.