Олимпиадные задачи из источника «13 (2015 год)» - сложность 2 с решениями

Прямая <i>l</i> перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую <i>l</i> в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.

У двух трапеций соответственно равны углы и диагонали. Верно ли, что такие трапеции равны?

В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i>, <i>BC</i> и <i>AB</i> отметили точки <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно, так, что  <i>AD = AB,  EC = DC,  BF = BE</i>.  После этого стёрли всё, кроме точек <i>E, F</i> и <i>D</i>. Восстановите треугольник <i>ABC</i>.

Квадрат <i>ABCD</i> и равносторонний треугольник <i>MKL</i> расположены так, как это показано на рисунке. Найдите угол <i>PQD</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65225/problem_65225_img_2.png"></div>

В треугольнике <i>ABC</i> высота <i>AH</i> проходит через середину медианы <i>BM</i>.

Докажите, что в треугольнике <i>BMC</i> также одна из высот проходит через середину одной из медиан.