Олимпиадные задачи из источника «8-9 класс»

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> отмечены точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно, так, что <i>HA</i> – биссектриса угла <i>B</i>₁<i>HC</i>₁ и четырёхугольник <i>BC</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i> – вписанный. Докажите, что <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – основания высот треугольника <i>ABC</i>.

На стороне <i>BE</i> правильного треугольника <i>ABE</i> вне его построен ромб <i>BCDE</i>. Отрезки <i>AC</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Докажите, что  <i>AF < BD</i>.

В трапеции <i>ABCD</i> биссектрисы углов <i>A</i> и <i>D</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лежащей на боковой стороне <i>BC</i>. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а две другие касаются биссектрисы <i>DE</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что  <i>BK = MN</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i>, <i>BC</i> и <i>AB</i> отметили точки <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно, так, что  <i>AD = AB,  EC = DC,  BF = BE</i>.  После этого стёрли всё, кроме точек <i>E, F</i> и <i>D</i>. Восстановите треугольник <i>ABC</i>.

Квадрат <i>ABCD</i> и равносторонний треугольник <i>MKL</i> расположены так, как это показано на рисунке. Найдите угол <i>PQD</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65225/problem_65225_img_2.png"></div>

В треугольнике <i>ABC</i> высота <i>AH</i> проходит через середину медианы <i>BM</i>.

Докажите, что в треугольнике <i>BMC</i> также одна из высот проходит через середину одной из медиан.