Олимпиадные задачи из источника «2017/2018» для 10 класса - сложность 2-5 с решениями

Может ли квадрат являться развёрткой некоторой треугольной пирамиды?

При каких целых значениях <i>m</i> число <i>Р</i> = 1 + 2<i>m</i> + 3<i>m</i>² + 4<i>m</i>³ + 5<i>m</i>⁴ + 4<i>m</i>⁵ + 3<i>m</i>⁶ + 2<i>m</i>⁷ + <i>m</i>⁸ является квадратом целого числа?

Известно, что в десятичной записи числа 2²⁹ все цифры различны. Есть ли среди них цифра 0?

Число <i>p</i> – корень кубического уравнения  <i>x</i>³ + <i>x</i> – 3 = 0.

Придумайте кубическое уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет число <i>p</i>².

Можно ли на числовой прямой расположить три отрезка чётной длины так, чтобы общие части каждых двух из них были отрезками нечётной длины?

В выпуклом четырёхугольнике <i>АВСD</i> точка <i>K</i> – середина стороны <i>ВС</i>, а  <i>S_АВСD</i> = 2<i>S_АKD</i>.

Найдите длину медианы <i>КЕ</i> треугольника <i>AKD</i>, если  <i>AB = a,  CD = b</i>.

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа <i>n</i> лежит на отрезке  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66356/problem_66356_img_2.gif">

Пусть <i>R</i>₁, <i>R</i>₂ и <i>R</i>₃ – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.

Докажите, что  ¹/_<i>R</i>₁ + ¹/_<i>R</i>₂ + ¹/_<i>R</i>₃ ≤ ¹/_<i>r</i>,  где <i>r</i> – радиус вписанной окружности этого треугольника.

Для всех действительных <i>x</i> и <i>y</i> выполняется равенство  <i>f</i>(<i>x</i>² + <i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(<i>y</i>²).  Найдите  <i>f</i>(–1).

Из клетчатой доски размером 8×8 выпилили восемь прямоугольников размером 2×1. После этого из оставшейся части требуется выпилить квадрат размером 2×2. Обязательно ли это удастся?

Какие значения может принимать выражение  <i>x + y + z</i>,  если  sin <i>x</i> = cos <i>y</i>,  sin <i>y</i> = cos <i>z</i>,  sin <i>z</i> = cos <i>x</i>,  0 ≤ <i>x, y, z</i> ≤ ^π/₂?

В зале стоят шесть стульев в два ряда – по три стула в каждом, один ряд ровно за другим. В зал пришли шесть человек различного роста.

Сколькими способами можно рассадить их так, чтобы каждый человек, сидящий в первом ряду, был ниже человека, сидящего за ним?

В четырёхугольнике <i>ABCD  AB = ВС = m</i>,  ∠<i>АВС</i> = ∠<i>АDС</i> = 120°.  Найдите <i>BD</i>.

Решите уравнение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66348/problem_66348_img_2.gif">

В треугольнике <i>АВС</i>  ∠<i>В</i> = 110°,  ∠<i>С</i> = 50°.  На стороне <i>АВ</i> выбрана такая точка <i>Р</i>, что  ∠<i>РСВ</i> = 30°,  а на стороне <i>АС</i> – такая точка <i>Q</i>, что

∠<i>ABQ</i> = 40°.  Найдите угол <i>QPC</i>.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i>+1 – (2<i>n</i> + 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (2<i>n</i> + 1)<i>xⁿ</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.