Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 3-4 с решениями

Рассматриваются все призмы, в основании которых лежит выпуклый 2015-угольник.

Какое наибольшее количество рёбер такой призмы может пересечь плоскость, не проходящая через её вершины?

У натурального числа <i>n</i> есть такие два различных делителя <i>а</i> и <i>b</i>, что  (<i>а</i> – 1)(<i>b</i> + 2) = <i>n</i> – 2.

Докажите, что число 2<i>n</i> является квадратом натурального числа.

Четырёхугольник <i>АВСD</i> вписан в окружность, <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABD</i>.

Найдите наименьшее значение <i>BD</i>, если  <i>AI = BC = CD</i> = 2.

Алгебраисты придумали новую операцию ❆, которая удовлетворяет условиям:  <i>а</i> ❆ <i>а</i> = 0  и  <i>а</i> ❆ (<i>b</i> ❆ <i>c</i>) = (<i>a</i> ❆ <i>b</i>) + <i>c</i>.  Вычислите  2015 ❆ 2014.  (Знак "+" определяет сложение в обычном смысле, скобки показывают порядок действий.)

На сторонах <i>BC</i> и <i>AC</i> правильного треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно.

Докажите, что из отрезков <i>AX, BY</i> и <i>XY</i> можно составить треугольник.

Решите уравнение  2 sin ^π<i>x</i>/₂ – 2 cos π<i>x = x</i>⁵ + 10<i>x</i> – 54.