Олимпиадные задачи из источника «2010/11» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Биссектрисы углов <i>В</i> и <i>С</i> пересекаются в точке, лежащей на отрезке <i>AD</i>.

Найдите <i>AD</i>, если  <i>АВ</i> = 5,  <i>СD</i> = 3.

Докажите, что если  <i>x</i> > 0,  <i>y</i> > 0,  <i>z</i> > 0 и  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115995/problem_115995_img_2.gif">,  и укажите, в каком случае достигается равенство.

Найдите наименьшее значение  <i>x</i>² + <i>y</i>²,  если  <i>x</i>² – <i>y</i>² + 6<i>x</i> + 4<i>y</i> + 5 = 0.