Олимпиадные задачи из источника «7 класс» для 9-11 класса - сложность 1 с решениями

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

Дана пирамида<i>АВСD</i>(см. рис.). Известно, что $\triangle$<i>ADB</i>=$\triangle$<i>DBC</i>; $\triangle$<i>ABD</i>=$\triangle$<i>BDC</i>; $\triangle$<i>BAD</i>=$\triangle$<i>ABC</i>. Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника<i>АВС</i>равна 10 см². <div align="center"><img src="/storage/problem-media/86491/problem_86491_img_3.gif"> </div>

Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.

В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?

При каких значениях <i>m</i> уравнения  <i>mx</i> – 1000 = 1001  и  1001<i>x = m</i> – 1000<i>x</i>  имеют общий корень?