Олимпиадные задачи из источника «2015 год» - сложность 2 с решениями
Какое наибольшее количество множителей вида <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65208/problem_65208_img_2.gif"> можно вычеркнуть в левой части уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65208/problem_65208_img_3.gif"> так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?
Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила 100. Каждое из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию 10, затем округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели 10 в найденную целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает 300?
В прошлом году Миша купил смартфон, который стоил целое четырёхзначное число рублей. Зайдя в магазин в этом году, он заметил, что цена смартфона выросла на 20% и при этом состоит из тех же цифр, но в обратном порядке. Какую сумму Миша потратил на смартфон?
Последовательность (<i>a</i><sub><i>n</i></sub>) такова, что <i>a<sub>n</sub> = n</i>² при 1 ≤ <i>n</i> ≤ 5 и при всех натуральных <i>n</i> выполнено равенство <i>a</i><sub><i>n</i>+5</sub> + <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a</i><sub><i>n</i>+4</sub> + <i>a<sub>n</sub></i>. Найдите <i>a</i><sub>2015</sub>.
По целому числу <i>a</i> построим последовательность <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i>, <i>a</i><sub>2</sub> = 1 + <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>3</sub> = 1 + <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>4</sub> = 1 + <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub>, ... (каждое следующее число на 1 превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности ее соседних членов <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> – <i>a<sub>n</sub></i> – ква...
Точки <i>O</i> и <i>I</i> – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Две равные окружности касаются сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i>, <i>BC</i> соответственно; кроме этого, они касаются друг друга в точке <i>K</i>. Оказалось, что <i>K</i> лежит на прямой <i>OI</i>. Найдите ∠<i>BAC</i>.
По кругу в некотором порядке расставлены все натуральные числа от 1 до 1000 таким образом, что каждое из чисел является делителем суммы двух своих соседей. Известно, что рядом с числом <i>k</i> стоят два нечётных числа. Какой чётности может быть число <i>k</i>?
Существует ли такое натуральное число <i>n</i>, что числа <i>n, n</i>², <i>n</i>³ начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы?
Будем называть натуральное число <i>почти квадратом</i>, если это либо точный квадрат, либо точный квадрат, умноженный на простое число.
Могут ли 8 почти квадратов идти подряд?
Миша заметил, что на электронном табло, показывающем курс доллара к рублю (4 цифры, разделенные десятичной запятой), горят те же самые четыре <i>различные</i> цифры, что и месяц назад, но в другом порядке. При этом курс вырос ровно на 20%. Приведите пример того, как такое могло произойти.
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> отметили точку <i>E</i> так, что <i>CD = CE</i>.
Докажите, что прямая <i>DE</i> перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков <i>AE</i> и <i>BC</i>.
Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?