Олимпиадные задачи из источника «2000 год» для 9-10 класса - сложность 2 с решениями
В треугольнике <i>ABC</i> медиана <i>BM</i> равна стороне <i>AC</i>. На продолжениях сторон <i>BA</i> и <i>AC</i> за точки <i>A</i> и <i>C</i> выбраны соответственно точки <i>D</i> и <i>E</i>, причём
<i>AD = AB</i> и <i>CE = CM</i>. Докажите, что прямые <i> DM </i> и <i> BE </i> перпендикулярны.
Вычислите $$\int \limits_0^{\pi} \big(|\sin(1999x)|-|\sin(2000x)|\big) , dx.$$
Наибольший общий делитель натуральных чисел <i>m</i> и <i>n</i> равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД(<i>m</i> + 2000<i>n</i>, <i>n</i> + 2000<i>m</i>)?
На бумаге "в клеточку" нарисован выпуклый многоугольник <i>M</i>, так что все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идёт по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков линий сетки, заключённых внутри <i>M</i>, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сетки внутри <i>M</i>.
Пусть <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + 12<i>x</i> + 30. Решите уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))))) = 0.
Точки A и B взяты на графике функции y=1/x, x>0. Из них опущены перпендикуляры на ось абсцисс, основания перпендикуляров - H<sub>A</sub> и H<sub>B</sub>; O - начало координат. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямыми OA, OB и дугой AB, равна площади фигуры, ограниченной прямыми AH<sub>A</sub>, BH<sub>B</sub>, осью абсцисс и дугой AB.
Решите уравнение (<i>x</i> + 1)<sup>63</sup> + (<i>x</i> + 1)<sup>62</sup>(<i>x</i> – 1) + (<i>x</i> + 1)<sup>61</sup>(<i>x</i> – 1)² + ... + (<i>x</i> – 1)<sup>63</sup> = 0.
Длины оснований трапеции равны <i>m</i> см и <i>n</i> см (<i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа, <i>m ≠ n</i>). Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.
В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов. После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?