Олимпиадные задачи из источника «8 класс»

В треугольнике <i>ABC</i> медиана <i>BM</i> равна стороне <i>AC</i>. На продолжениях сторон <i>BA</i> и <i>AC</i> за точки <i>A</i> и <i>C</i> выбраны соответственно точки <i>D</i> и <i>E</i>, причём

<i>AD = AB</i>  и  <i>CE = CM</i>.  Докажите, что прямые <i> DM </i> и <i> BE </i> перпендикулярны.

Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?

В колоде часть карт лежит рубашкой вниз. Время от времени Петя вынимает из колоды пачку из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат рубашкой вниз, переворачивает всю пачку как одно целое и вставляет её в то же место колоды (если "пачка" состоит лишь из одной карты, то требуется только, чтобы она лежала рубашкой вниз). Докажите, что в конце концов все карты лягут рубашкой вверх, как бы ни действовал Петя.

Длины оснований трапеции равны <i>m</i> см и <i>n</i> см (<i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>m ≠ n</i>).  Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.

В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов. После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?

Два различных числа <i>x</i> и <i>y</i> (не обязательно целых) таковы, что  <i>x</i>² – 2000<i>x = y</i>² – 2000<i>y</i>.  Найдите сумму чисел <i>x</i> и <i>y</i>.