Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 1-4 с решениями

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB > BC</i>)  касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно, <i>RS</i> – средняя линия, параллельная стороне <i>AB</i>, <i>T</i> – точка пересечения прямых <i>PQ</i> и <i>RS</i>. Докажите, что точка <i>T</i> лежит на биссектрисе угла <i>B</i> треугольника <i>ABC</i>.

Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOB</i> касается прямой <i>BC</i>.

Докажите, что описанная окружность треугольника <i>BOC</i> касается прямой <i>CD</i>.

В соревнованиях по <i>n</i>-борью участвуют 2^<i>n</i> человек. Для каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы. Соревнования проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг, и т.д., пока в <i>n</i>-м виде программы не будет определен победитель. Назовем спортсмена <i>возможным победителем</i>, если можно так расставить виды спорта в программе, что он станет победителем.

  а) Докажите, что может так случиться, что хотя бы половина спортсменов является возможными победителями.

  б) Докажите, что число возможных по...

Найдите все такие целые положительные k, что число

1...12...2-2...2 является квадратом целого числа. (В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1"; второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")

Двое играют в следующую игру: первый выписывает в ряд по своему желанию буквы А или Б (слева направо, одну за другой; по одной букве за ход), а второй после каждого хода первого меняет местами любые две из выписанных букв или ничего не меняет (это тоже считается ходом). После того, как оба игрока сделают по 1999 ходов, игра заканчивается. Может ли второй играть так, чтобы при любых действиях первого игрока в результате получился палиндром (то есть слово, которое читается одинаково слева направо и справа налево)?

На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 1999-го дня.