Олимпиадная задача: определение k для квадратов в числе с повторяющимися цифрами 1 и 2

Ответ: k=2. Обозначим n=1000. Имеем два случая:

1. k>1000. Тогда k k-(n+1) — — / \ n+1 /
   1...12...2 - 2...2 = 10 1...12...2 \ / \ / \ / — — — 2n n+1 2n-k Очевидно, что это число не является квадратом натурального: n четно, поэтому в разложение числа входит нечетное число пятерок.2) k < 1000. Тогда k — / \ k 1...12...2-2...2 = 1...10...0 - 2...20...0 = 10 (1...1-2...2) \ / \ / \ /\ / \ /\ / \ / \ / — — — — — — — — n2 n+1 2n-k k n+1-k k 2n-k n+1-k Получили: k=2l, и достаточно найти все такие l<n, что числоA = 1...1 - 2...2 - \ / \ / — — 2n-2l n+1-2l полный квадрат. Заметим, что число x является полным квадратом в точности тогда, когда и 9x. Имеем:9A = 9...9 - 19...98 = 9...980...01 \ / \ / \ / \ / — — — — 2n-2l n-2l n-2 n-2l "Близкий" к числу 9A полный квадрат - число B=(10^n-l)². Очевидно, B>9A. Очевидно также, что при Y>Z будет Y²-Z²>Y²- (Y-1)²= 2Y-1. А теперь найдем разность B-9A: 2n-2l n-2l+1 B - 9A = 10 - 9 9...980...01 = 19...9 = 210 - 1 \ / \ / \ / — — — n-2 n-2l n-2l+1 Ясно, что 210^n-2l+1-1<210^n-l-1, причем равенство имеет место в точности при l=1, откуда сразу и получается ответ задачи.

Ответ задачи отсутствует