Олимпиадная задача: Биссектриса треугольника и вписанная окружность (Планиметрия, 8–9 классы)
Задача
Вписанная окружность треугольника ABC (AB > BC) касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно, RS – средняя линия, параллельная стороне AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что точка T лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC.
Решение
Пусть BC = a, AC = b, AB = c, полупериметр треугольника ABC равен p, а точки R и S лежат на сторонах AC и BC соответственно. Тогда CQ = p – c,
CR = b/2, QR = b/2 – ½ (a + b – c) = ½ (c – a).
Поскольку SR || AB, то ∠RQT = ∠AQP = ∠APQ = ∠RTQ, значит, треугольник RQT – равнобедренный: RT = QR = ½ (c – a). Следовательно,
ST = RS – RT = b/2 – ½ (c – a) = a/2 = SB, то есть треугольник BST – равнобедренный. Значит, ∠SBT = ∠BTS = ∠PBT. 
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь