Олимпиадные задачи из источника «8 класс» для 2-10 класса - сложность 2-5 с решениями

Можно ли выбрать некоторые натуральные числа так, чтобы при любом натуральном значении<i>n</i>хотя бы одно из чисел<i>n</i>,<i>n</i>+ 50 было выбрано и хотя бы одно из чисел<i>n</i>,<i>n</i>+ 1987 не было выбрано?

В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> углы при вершинах <i>B</i> и <i>D</i> – прямые,  ∠<i>BCA</i> = ∠<i>DCE</i>,  а точка <i>M</i> – середина стороны <i>AE</i>. Доказать, что  <i>MB = MD</i>.

В классе организуется турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учащихся этого класса (кроме команды всего класса). Доказать, что каждая команда учащихся будет соревноваться с командой всех остальных учащихся класса.

Школьник хочет вырезать из квадрата размером2<i>n</i>×2<i>n</i>наибольшее количество прямоугольников размером1×(<i>n</i>+ 1). Найти это количество для каждого натурального значения<i>n</i>.

Доказать, что если  <i>a > b</i> > 0  и  ^<i>x</i>/_<i>a</i> < ^<i>y</i>/_<i>b</i>,  то справедливо неравенство   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79510/problem_79510_img_2.gif">