Олимпиадные задачи из источника «1986 год» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями
Найдите минимум по всем α, β максимума функции<div align="CENTER"> <i>y</i>(<i>x</i>) = |cos <i>x</i> + α cos 2<i>x</i> + β cos 3<i>x</i>|. </div>
Биссектриса угла<i>A</i>треугольника<i>ABC</i>продолжена до пересечения в<i>D</i>с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что<i>AD</i> > 1/2 (<i>AB</i> + <i>AC</i>).
На листе бумаги отмечены точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник<i>ABCD</i>квадратом?
На координатной плоскости нарисованы круги радиусом 1/14 с центрами в каждой точке, у которой обе координаты — целые числа. Докажите, что любая окружность радиусом 100 пересечёт хотя бы один нарисованный круг.
Докажите, что если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/79492/problem_79492_img_2.gif"> при <i>n</i> = 2, ..., 10, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/79492/problem_79492_img_3.gif">