Олимпиадные задачи из источника «1984 год» - сложность 3-5 с решениями
Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.
В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в <i>n</i><sub>1</sub>, <i>n</i><sub>2</sub>, <i>n</i><sub>3</sub>, ... копеек, где
<i>n</i><sub>1</sub> < <i>n</i> < <sub>2</sub> < <i>n</i><sub>3</sub> < ... – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число <i>N</i>, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в <i>n</i><sub>1</sub>, <i>n</i><sub&g...
Существует ли три ненулевые цифры, с помощью которых можно составить бесконечное число десятичных записей квадратов различных целых чисел?
По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.
Некоторый треугольник можно вырезать из бумажной полоски единичной ширины, а из любой полоски меньшей ширины его вырезать нельзя. Какую площадь может иметь этот треугольник?
Является ли чётным число всех 64-значных натуральных чисел, не содержащих в записи нулей и делящихся на 101?