Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.

В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в <i>n</i>₁, <i>n</i>₂, <i>n</i>₃, ... копеек, где

<i>n</i>₁ < <i>n</i> < ₂ < <i>n</i>₃ < ...  – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число <i>N</i>, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в <i>n</i>₁, <i>n</i><sub&g...

Решите в целых числах уравнение  19<i>x</i>³ − 84<i>y</i>² = 1984.

Жюри олимпиады решило по её результатам сопоставить каждому участнику натуральное число таким образом, чтобы по этому числу можно было однозначно восстановить баллы, полученные участником за каждую задачу, и чтобы из каждых двух школьников большее число сопоставлялось тому, кто набрал большую сумму баллов. Помогите жюри решить эту задачу!

Не используя калькуляторов, таблиц и т.п., докажите неравенствоsin 1 < log₃$\sqrt{7}$.