Олимпиадные задачи из источника «1981 год» для 5-11 класса - сложность 3 с решениями

Радиус вписанной в треугольник окружности равен${\frac{4}{3}}$, а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.

Доказать, что последовательность<i>x</i>_n= sin(<i>n</i>²) не стремится к нулю при<i>n</i>, стремящемся к бесконечности.

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если <i>x</i> – целое число, то <i>P</i>(<i>x</i>) – целое число, кратное <i>p</i>

(<i>p</i> – натуральное число). Доказать, что <i>n</i>! делится на <i>p</i>.

У правильного 1981-угольника отмечены 64 вершины. Доказать, что существует трапеция с вершинами в отмеченных точках.

Натуральные числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i> таковы, что каждое не превышает своего номера  (<i>a_k ≤ k</i>)  и сумма всех чисел – чётное число. Доказать, что одна из сумм  <i>a</i>₁ ± <i>a</i>₂ ± ... ± <i>a_n</i>  равна нулю.

Имеется 5 гирь. Их массы равны 1000 г, 1001 г, 1002 г, 1004 г и 1007 г, но надписей на гирях нет и внешне они неотличимы. Имеются весы со стрелкой, которые показывают массу в граммах. Как с помощью трёх взвешиваний определить гирю в 1000 г?

Дано число<i>x</i>, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство<div align="CENTER"> [$\displaystyle \sqrt{[\sqrt{x}]}$] = [$\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}}$]? </div>

Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число.<span class="prim">(Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.)</span>Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число<nobr>(не пересекающих</nobr>друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?