Олимпиадные задачи из источника «1972 год» - сложность 3-4 с решениями
На всех клетках шахматной доски 8×8 расставлены натуральные числа. Разрешается выделить любой квадрат размером 3×3 или 4×4 и увеличить все числа в нём на 1. Мы хотим в результате нескольких таких операций добиться, чтобы числа во всех клетках делились на 10. Всегда ли это удастся сделать?
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> и <sup><i>c</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |<i>bc – ad</i>| = 1.
На плоскости проведено 3000 прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее: а) 1000 треугольников, б) 2000 треугольников.
Существуют ли рациональные числа<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, удовлетворяющие равенству <div align="CENTER"> (<i>a</i> + <i>b</i>$\displaystyle \sqrt{2}$)<sup>2n</sup> + (<i>c</i> + <i>d</i>$\displaystyle \sqrt{2}$)<sup>2n</sup> = 5 + 4$\displaystyle \sqrt{2}$ </div>(где<i>n</i>— натуральное число)?
На плоскости проведено 300 прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее 100 треугольников.
Пусть <i>K</i>(<i>x</i>) равно числу таких несократимых дробей <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>, что <i>a < x</i> и <i>b < x</i> (<i>a</i> и <i>b</i> – натуральные числа). Например, <i>K</i>(<sup>5</sup>/<sub>2</sub>) = 3 (дроби 1, 2, ½).
Вычислить сумму <i>K</i>(100) + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>2</sub>) + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>3</sub>) + ... + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>99</sub>) + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>100</sub>).
В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.
В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги. Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.
Озеро имеет форму невыпуклого<nobr><i>n</i>-угольника.</nobr>Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого<nobr><i>m</i>-угольника,</nobr>где<nobr><i>m</i>≤<i>n</i>.</nobr>
В городе "Многообразие" живут<i>n</i>жителей, любые два из которых либо дружат, либо враждуют между собой. Каждый день не более чем один житель может начать новую жизнь: перессориться со всеми своими друзьями и подружиться со всеми своими врагами. Доказать, что все жители могут подружиться. <i>Примечание.</i>Если<i>A</i>— друг<i>B</i>, а<i>B</i>— друг<i>C</i>, то<i>A</i>— также друг<i>C</i>. Предполагается также, что среди любых троих жителей хотя бы двое дружат между собой.
На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы Г'' . Концы коротких палочек у букв Г'' обозначим через<i>A</i>и<i>A'</i>. Длинные палочки
разделены на<i>n</i>равных частей точками<i>a</i><sub>1</sub>, ...,<i>a</i><sub>n - 1</sub>;<i>a'</i><sub>1</sub>,
...,<i>a'</i><sub>n - 1</sub>(точки деления нумеруются от концов длинных палочек).
Проводятся прямые<i>Aa</i><sub>1</sub>,<i>Aa</i><sub>2</sub>, ...,<i>Aa</i><sub>n - 1</sub>;<i>A'a</i><sup>$\scriptstyle \prime$</sup><sub>1</sub>,<i>A'a&...
В треугольнике<i>ABC</i>проведены медианы<i>AD</i>и<i>BE</i>. Углы<i>CAD</i>и<i>CBE</i>равны30<sup><tt>o</tt></sup>. Доказать, что<i>AB</i>=<i>BC</i>.
В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.