Задача
На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы Г'' . Концы коротких палочек у букв Г'' обозначим черезAиA'. Длинные палочки
разделены наnравных частей точкамиa1, ...,an - 1;a'1,
...,a'n - 1(точки деления нумеруются от концов длинных палочек).
Проводятся прямыеAa1,Aa2, ...,Aan - 1;A'a$\scriptstyle \prime$1,A'a'2,
...,A'a'n - 1. Точку пересечения прямыхAa1иA'a$\scriptstyle \prime$1обозначим
черезX1, прямыхAa2иA'a$\scriptstyle \prime$2— черезX2и т.д. Доказать, что
точкиX1,X2, ...,Xn - 1образуют выпуклый многоугольник.
Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.
Решение
Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение. Пусть поворот с центром Oпереводит прямую l1в прямую l2, а точку A1, лежащую на прямой l1, — в точку A2. Тогда точка пересечения прямых l1и l2лежит на описанной окружности треугольникаA1OA2. Действительно, пустьP— точка пересечения прямыхl1иl2. Тогда$\angle$(OA1, A1P) =$\angle$(OA1, l1) =$\angle$(OA2, l2) =$\angle$(OA2, A2P). Поэтому точкиO,A1,A2иPлежат на одной окружности.
Одинаковые буквы ``Г'' можно совместить поворотом с некоторым центромO(если они совмещаются параллельным переносом, тоAai||A'ai'). Согласно только что доказанному вспомогательному утверждению точкаXiлежит на описанной окружности треугольникаA'OA. Ясно, что точки, лежащие на одной окружности, образуют выпуклый многоугольник.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь