Олимпиадные задачи из источника «1972 год» - сложность 4-5 с решениями

На плоскости проведено 3000 прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее: а) 1000 треугольников, б) 2000 треугольников.

Существуют ли рациональные числа<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, удовлетворяющие равенству <div align="CENTER"> (<i>a</i> + <i>b</i>$\displaystyle \sqrt{2}$)²ⁿ + (<i>c</i> + <i>d</i>$\displaystyle \sqrt{2}$)²ⁿ = 5 + 4$\displaystyle \sqrt{2}$ </div>(где<i>n</i>— натуральное число)?

Озеро имеет форму невыпуклого<nobr><i>n</i>-угольника.</nobr>Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого<nobr><i>m</i>-угольника,</nobr>где<nobr><i>m</i>≤<i>n</i>.</nobr>