Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» - сложность 1-4 с решениями

Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве <i>pⁿ</i>, где <i>p</i> – простое число,  <i>n</i> = 0, 1, 2, 3, ...  (например, первый берёт 25 спичек, второй – 8, первый – 1, второй – 5, первый – 49 и т.д.). Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

<i>n</i>точек расположены в вершинах выпуклого<i>n</i>-угольника. Внутри этого<i>n</i>-угольника отметили<i>k</i>точек. Оказалось, что любые три из<i>n</i>+<i>k</i>точек не лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему может быть равно число<i>k</i>?

Про последовательность<i>x</i>₁,<i>x</i>₂, ...,<i>x</i>_n, ... известно, что для любого<i>n</i>> 1 выполнено равенство3<i>x</i>_n-<i>x</i>_{n - 1}=<i>n</i>. Кроме того, известно, что|<i>x</i>₁| < 1971. Вычислить<i>x</i>₁₉₇₁с точностью до 0, 000001.

Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами<i>A</i>₁,<i>A</i>₂, ...,<i>A</i>_n, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3<i>n</i>отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине<i>A</i>₁, равны между собой. То же самое верно и для вершин<i>A</i>₂,<i>A</i>₃, ...,<i>A</i>_{n - 1}. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине<i>A</i>_n, также равны между собой.