Олимпиадные задачи из источника «1965 год» для 11 класса - сложность 3 с решениями
В каждой клетке квадратной таблицы <i>m×m</i> клеток стоит либо натуральное число, либо нуль. При этом, если на пересечении строки и столбца стоит нуль, то сумма чисел в "кресте", состоящем из этой строки и этого столбца, не меньше <i>m</i>. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не меньше чем ½ <i>m</i>².
Дана плоскость <i>P</i> и две точки <i>A</i> и <i>B</i> по разные стороны от неё. Построить сферу, проходящую через эти точки, высекающую из <i>P</i> наименьший круг.
Докажите, что последние цифры чисел <i>n<sup>n</sup></i> (<i>n</i> – натуральное) образуют периодическую последовательность.
На лист клетчатой бумаги размером <i>n</i>×<i>n</i> клеток кладутся чёрные и белые кубики, причём каждый кубик занимает ровно одну клетку. Первый слой кубиков положили произвольно, а затем вспомнили, что каждый чёрный кубик должен граничить с чётным числом белых, а каждый белый — с нечётным числом чёрных. Кубики во второй слой положили так, чтобы для всех кубиков первого слоя выполнялось это условие. Если для всех кубиков второго слоя это условие уже выполняется, то больше кубиков не кладут, если же нет, то кладут третий слой так, чтобы чтобы для всех кубиков второго слоя выполнялось это условие, и так далее. Существует ли такое расположение кубиков первого слоя, что этот процесс никогда не кончится?
Имеется 11 мешков с монетами и весы с двумя чашками и стрелкой, которые показывают, на какой чашке груз тяжелее и на сколько именно. Известно, что в одном мешке все монеты фальшивые, а в остальных – все монеты настоящие. Все настоящие монеты имеют одинаковый вес, а все фальшивые – также одинаковый, но другой вес. За какое наименьшее число взвешиваний можно определить, в каком мешке лежат фальшивые монеты?
Даны окружность<i>O</i>, точка<i>A</i>, лежащая на ней, перпендикуляр к плоскости окружности<i>O</i>, восставленный из точки<i>A</i>, и точка<i>B</i>, лежащая на этом перпендикуляре. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки<i>A</i>на прямые, проходящие через точку<i>B</i>и произвольную точку окружности<i>O</i>.
В квадратном уравнении <i>x</i>² + <i>px + q</i> коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.
Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.