Олимпиадные задачи из источника «1965 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями
В прямоугольном бильярде размером <i>p</i>×2<i>q</i>, где <i>p</i> и <i>q</i> – нечётные числа, сделаны лузы в каждом углу и в середине каждой стороны длины 2<i>q</i>. Из угла выпущен шарик под углом 45° к стороне. Доказать, что шарик обязательно попадёт в одну из средних луз.
На плоскости даны три точки. Построить три окружности, касающиеся друг друга в этих точках. Разобрать все случаи.
Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1. Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке [–2, 2].
Бумажный квадрат был проколот в 1965 точках. Из точек-проколов и вершин квадрата никакие три не лежат на одной прямой. Потом сделали несколько прямолинейных не пересекающихся между собой разрезов, каждый из которых начинался и кончался только в проколотых точках или вершинах квадрата. Оказалось, что квадрат разрезан на треугольники, внутри которых проколов нет. Сколько было сделано разрезов и сколько получилось треугольников?
<i>X</i> – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа: 1, <i>X, X</i>², <i>X</i>³, <i>X</i><sup>4</sup>, ..., <i>X<sup>k</sup></i> (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.
Окружности<i>O</i><sub>1</sub>и<i>O</i><sub>2</sub>лежат внутри треугольника и касаются друг друга извне, причём окружность<i>O</i><sub>1</sub>касается двух сторон треугольника, а окружность<i>O</i><sub>2</sub>-- тоже касается двух сторон треугольника, но не тех же, что<i>O</i><sub>1</sub>. Доказать, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.