Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 3-9 класса - сложность 2-3 с решениями
8 класс, 1 тур
НазадЛист клетчатой бумаги размером 5×<i>n</i> заполнен карточками размером 1×2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа 1 и –1. Известно, что произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы положительны. При каких <i>n</i> это возможно?
На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.
Решить в целых числах уравнение <i><sup>xy</sup></i>/<i><sub>z</sub> + <sup>xz</sup></i>/<i><sub>y</sub> + <sup>yz</sup></i>/<i><sub>x</sub></i> = 3.
Даны выпуклый четырёхугольник<i>ABCD</i>площади<i>s</i>и точка<i>M</i>внутри него. Точки<i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>,<i>S</i>симметричны точке<i>M</i>относительно середин сторон четырёхугольника<i>ABCD</i>. Найти площадь четырёхугольника<i>PQRS</i>.
<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> – такие числа, что <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i> = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение <i>S = a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>3</sub> + ... + <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>a<sub>n</sub></i> ≤ 0
(в сумму <i>S</i> входят все возможные произведения <i>a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>,...