Олимпиадные задачи из источника «1953 год» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

Пусть  <i>x</i>₀ = 10⁹,  <i>x_n</i> = <img width="69" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77993/problem_77993_img_2.gif">.  Доказать, что  0 < <i>x</i>₃₆ – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77993/problem_77993_img_3.gif"> < 10^–9.

Найти корни уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">

Разрезать куб на три равные пирамиды.

Даны уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0   (1)    и – <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>   (2).     Доказать, что если <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂ – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень <i>x</i>₃ уравнения  ½ <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  что либо  <i>x</i>₁ ≤ <i>x</i>₃ ≤ <i>x</i>₂,  либо  <i>x</i>₁ ≥ <i>x</i>₃ ≥ <i>x</i>₂.

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

<i>A</i> – вершина правильного звёздчатого пятиугольника. Ломаная <i>AA'BB'CC'DD'EE'</i> является его внешним контуром. Прямые <i>AB</i> и <i>DE</i> продолжены до пересечения в точке <i>F</i>. Докажите, что многоугольник <i>ABB'CC'DED'</i> равновелик четырёхугольнику <i>AD'EF</i>.

Докажите, что многочлен вида  <i>x</i>²⁰⁰<i>y</i>²⁰⁰ + 1  нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только <i>x</i> и одного только <i>y</i>.

<i>AB</i>и<i>A</i>₁<i>B</i>₁— два скрещивающихся отрезка.<i>O</i>и<i>O</i>₁— соответственно их середины. Докажите, что отрезок<i>OO</i>₁меньше полусуммы отрезков<i>AA</i>₁и<i>BB</i>₁.