Олимпиадные задачи из источника «1952 год» для 9 класса - сложность 1 с решениями
200 учеников выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран самый высокий ученик, а затем из отобранных 10 человек выбран самый низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий. Кто из двоих окажется выше?
Вычислить с шестьюдесятью десятичными знаками <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/77957/problem_77957_img_2.gif"> (60 девяток).
Решить систему пятнадцати уравнений с пятнадцатью неизвестными: <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> = <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> = ... = <i>x</i><sub>14</sub><i>x</i><sub>15</sub> = <i>x</i><sub>15</sub><i>x</i><sub>1</sub> = 1.
Докажите тождество <div align="CENTER"><table cellpadding="0" width="95%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td width="5%"> </td> <td nowrap align="LEFT">(<i>ax</i> + <i>by</i> + <i>cz</i> + <i>du</i>)<sup>2</sup> + (<i>bx</i> + <i>cy</i> + <i>dz</i> + <i>au</i>)<sup>2</sup> + (<i>cx</i> + <i>dy</i> + <i>az</i> + <i>bu</i>)<sup>2</sup> +</td></tr> <tr valign="MIDDLE"> <td> </td> <td nowrap align="LEFT">+ (<i>dx</i> + <i>ay</i>...
Если все 6 граней параллелепипеда — равные между собой параллелограммы, то они суть ромбы. Докажите.
Докажите тождество (<i>ax + by + cz</i>)² + (<i>bx + cy + az</i>)² + (<i>cx + ay + bz</i>)² = (<i>cx + by + az</i>)² + (<i>bx + ay + cz</i>)² + (<i>ax + cy + bz</i>)².
В$\Delta$<i>ABC</i>вписана окружность, которая касается его сторон в точках<i>L</i>,<i>M</i>и<i>N</i>. Докажите, что$\Delta$<i>LMN</i>всегда остроугольный (независимо от вида$\Delta$<i>ABC</i>).