Олимпиадные задачи из источника «1950 год» - сложность 2 с решениями
Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что какие бы 8 маршрутов ни были взяты, найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки.
Докажите, что <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/77911/problem_77911_img_2.gif">
В выпуклом 13-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на многоугольники. Возьмём среди них многоугольник с наибольшим числом сторон. Какое самое большее число сторон может он иметь?
Дано<i>n</i>окружностей:<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>,...<i>O</i><sub>n</sub>, проходящих через одну точку<i>O</i>. Вторые точки пересечения<i>O</i><sub>1</sub>с<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>с<i>O</i><sub>3</sub>,...,<i>O</i><sub>3</sub>с<i>O</i><sub>1</sub>обозначим соответственно через<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>. На<i>O</i><sub>1</sub>берем произвольную точку<i>B</i><sub>1</su...
Решить уравнение: <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_2.gif"> + <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_3.gif"> = 1.
Имеется 81 гиря весом 1<sup>2</sup>г, 2<sup>2</sup>г, 3<sup>2</sup>г, ..., 81<sup>2</sup>г. Разложить их на 3 равные по весу кучи.
Пусть<i>A</i>— произвольный угол,<i>B</i>и<i>C</i>— острые углы. Всегда ли существует такой угол<i>X</i>, что<div align="CENTER"> sin <i>X</i> = $\displaystyle {\frac{\sin B\sin C}{1-\cos A\cos B\cos C}}$? </div>(Из `` Воображаемой геометрии'' Н. И. Лобачевского).
Из пункта <i>A</i> в другие можно попасть двумя способами: 1) выйти сразу и идти пешком; 2) вызвать машину и, подождав ее определённое время, ехать на ней. В каждом случае используется способ передвижения, требующий меньшего времени. При этом <div align="center"><img src="/storage/problem-media/77904/problem_77904_img_2.gif"></div>Скорости пешехода и машины, а также время ожидания машины, принимаются неизменными. Сколько понадобится времени для достижения пункта, отстоящего от<i>A</i>на 6 км?
Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>— длины сторон треугольника;<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— величины противоположных углов. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>Aa</i> + <i>Bb</i> + <i>Cc</i>$\displaystyle \ge$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{ Ab+Ba+Ac+Ca+Bc+Cb}\right.$<i>Ab</i> + <i>Ba</i> + <i>Ac</i> + <i>Ca</i> + <i>Bc</i> + <i>Cb</i>$\displaystyle \left.\vphantom{ Ab+Ba+Ac+Ca+Bc+Cb}\right)$. </div>
Даны 3 окружности<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>3</sub>, проходящие через одну точку<i>O</i>. Вторые точки пересечения<i>O</i><sub>1</sub>с<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>с<i>O</i><sub>3</sub>и<i>O</i><sub>3</sub>с<i>O</i><sub>1</sub>обозначим соответственно через<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>и<i>A</i><sub>3</sub>. На<i>O</i><sub>1</sub>берем произвольную точку<i>B</i><sub>1</sub>. Если<i>B</i>...
Имеется 555 гирь весом: 1 г, 2 г, 3 г, 4 г,...555 г. Разложить их на 3 равные по весу кучи.