Олимпиадные задачи из источника «1947 год» - сложность 4-5 с решениями

<i>k</i>проволочных треугольников расположены в пространстве так, что:

1. каждые 2 из них имеют ровно одну общую вершину,

2. в каждой вершине сходится одно и то же число<i>p</i>треугольников.

Найдите все значения<i>k</i>и<i>p</i>, при которых указанное расположение возможно.

В треугольной пирамиде все 4 грани имеют одинаковую площадь. Докажите, что они равны.

Расположите (На плоскости — прим. ред.) 4 точки так, чтобы при измерении всех попарных расстояний между ними получалось только два различных числа. Отыщите все такие расположения.

Некоторые из 20 металлических кубиков, одинаковых по размерам и внешнему виду, алюминиевые, остальные (Предполагается, что все кубики могут быть алюминиевыми, но они не могут быть все дюралевыми (если все кубики окажутся одного веса, то нельзя выяснить, алюминиевые они или дюралевые) — прим. ред.) дюралевые (более тяжёлые). Как при помощи 11 взвешиваний на весах с 2-мя чашечками без гирь определить число дюралевых кубиков?