Олимпиадные задачи из источника «9,10 класс, 2 тур» - сложность 2-4 с решениями

Построить прямоугольный треугольник по двум медианам, проведённым к катетам.

В пространстве даны две скрещивающиеся перпендикулярные прямые. Найти множество середин всех отрезков данной длины, концы которых лежат на этих прямых.

Решить в целых числах уравнение  <i>x + y = x</i>² – <i>xy + y</i>².

Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i>, чтобы выражение  <i>x</i>(<i>x</i> – <i>a</i>)(<i>x</i> – <i>b</i>)(<i>x</i> – <i>c</i>) + 1  разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.