Пусть  x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 = P(x)Q(x),  где P(x) и Q(x) – многочлены с целыми коэффициентами. Ясно, что P(x) и Q(x) – многочлены со старшим коэффициентом 1. При  x = 0,  x = a,  x = b  и  x = c  имеет место равенство  P(x)Q(x) = 1,  то есть либо  P(x) = Q(x) = 1,  либо  P(x) = Q(x) = –1.  В обоих случаях  P(x) – Q(x) = 0.  Степень многочлена  P(x) – Q(x)  меньше четырёх, а он обращается в ноль в четырёх точках, поэтому  P(x) = Q(x)  для всех x. Таким образом,  x(x – a)(x – b)(x – c) = P²(x) – 1 = (P(x) + 1)(P(x) – 1).  Поэтому  P(x) ± 1 = x(x – a)  и      то есть  x(x – a) – (x – b)(x – c) = ±2  (мы не различаем решения, отличающиеся лишь перестановкой чисел a, b, c). Следовательно,  a = b + c  и  –bc = ±2.  В результате получаем следующие наборы значений  (a, b, c):  (3, 2, 1),  (–3, –2, –1),  (–1, –2, 1),  (1, 2, –1).  Им соответствуют следующие разложения многочлена  x(x – a)(x – b)(x – c) + 1:  (x² – 3x + 1)²,  (x² + 3x + 1)²,  (x² + x – 1)²,  (x² – x – 1)².

Ответ задачи отсутствует