Олимпиадные задачи из источника «2001/02»

Назовем натуральное число "изумительным", если оно имеет вид a^b+ b^a(где a и b - натуральные числа). Например, число 57 - изумительное, так как 57 = 2⁵+ 5². Является ли изумительным число 2006?

На Луне имеют хождение монеты достоинством в 1, 15 и 50 фертингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и получил сдачу – на одну монету больше. Какова наименьшая возможная цена покупки?

Три шахматиста <i>A, B</i> и <i>C</i> сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков <i>A</i> занял первое место, <i>C</i> – последнее, а по числу побед, наоборот, <i>A</i> занял последнее место, <i>C</i> – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

Даны русские слова:<b>люк</b>,<b>яр</b>,<b>ель</b>,<b>лен</b>,<b>лезь</b>. Определите, что получится, если звуки, из которых состоят эти слова, произнести в обратном порядке.

При организации экспедиции на Эверест участниками было установлено четыре высотных лагеря (не считая базового), на растоянии дня пути друг от друга, после чего все спустились вниз. Пересчитав запасы, руководитель решил, что надо занести еще один баллон кислорода в четвертый лагерь, а потом всем опять вернуться вниз на отдых. При этом каждый участник

1. может нести вверх не больше трех баллонов,
2. сам тратит в день ровно один баллон кислорода. Какое наименьшее количество баллонов придется взять из лагеря для достижения поставленной цели? (Оставлять баллоны можно только в лагерях.)

Выйдя на маршрут в 4 часа утра, альпинист Джеф Лоу к вечеру достиг пика "Свободная Корея". Переночевав на вершине, на следующий день он вышел в то же время и быстро спустился обратно по пути подъема. Докажите, что на маршруте есть такая точка, которую Лоу во время спуска и во время подъема проходил в одно и то же время суток.

Из посёлка Морозки ведет прямая дорога, в стороне от неё, на поле, расположена водокачка. Путнику нужно попасть из Морозок к водокачке. По дороге путник идет со скоростью 4 км/ч, а по полю – 3 км/ч. Как ему следует выбрать маршрут, чтобы дойти быстрее всего?

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

В Москве живет 2000 скалолазов, в Санкт-Петербурге и Красноярске — по 500, в Екатеринбурге — 200, а остальные 100 рассеяны по территории России. Где нужно устроить чемпионат России по скалолазанию, чтобы транспортные расходы участников были минимальны?

В Старой Калитве живет 50 школьников, а в Средних Болтаях — 100 школьников. Где нужно построить школу, чтобы сумма расстояний, проходимых всеми школьниками, была наименьшей?

а) Вот пример "снежного кома" на английском языке: <i>I do not know where family doctors acquired illegibly perplexing handwriting; nevertheless, extraordinary pharmaceutical intellectuality, counterbalancing indecipherability, transcendentalizes intercommunications' incomprehensibleness</i>. Приведите пример осмысленного снежного кома на русском языке.   б) Большой, зеленый, живет под землей и питается камнями. Кто это?

Существует ли треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги, каждая сторона которого длиннее 100 клеточек, а площадь меньше площади одной клеточки?

Является ли число 102030405060708090807060504030201 квадратом какого-нибудь целого числа?

В Трансильвании живут беспартийные (которые всегда говорят правду) и члены одной единственной партии (которые всегда лгут). Кроме того, половина трансильванцев не в своем уме, и считает все истинные утверждения ложными и наоборот. Как с помощью одного вопроса (допускающего ответ "да-нет") выяснить,   а) в своем ли уме ваш собеседник из Трансильвании;   б) является ли он членом партии?

Федя К. вышел из некоторой точки, прошел 1км на север, затем

• 1км на восток, затем - 1км на юг и вернулся в исходную точку.   а) Где такое могло произойти?   б) Найдите все такие точки на Земле.

В течение года цены на штрюдели два раза поднимали на 50%, а перед Новым Годом их стали продавать за полцены.

Сколько стоит сейчас один штрюдель, если в начале года он стоил 80 рублей?

Теннисист для тренировки играет каждый день хотя бы одну партию; при этом, чтобы не перетрудиться, он играет не более 12 партий в неделю.

Докажите, что можно найти несколько таких подряд идущих дней, в течение которых теннисист сыграл ровно двадцать партий.

Учащиеся 57-й школы решили провести чемпионат по мини-футболу. Так как ворота на школьном дворе разного размера, то игроки хотят составить расписание игр так, чтобы:

  1) Каждая команда сыграла с каждой ровно по одному разу.

  2) Каждая команда чередовала свои игры – то на плохой стороне, то на хорошей стороне двора.

    а) Удастся ли это сделать, если в турнире принимают участие 10 команд?

    б) Можно ли при этом составить расписание так, чтобы каждый день каждая команда играла ровно одну игру?

Сборная России по футболу выиграла у сборной Туниса со счетом  9 : 5.  Докажите, что по ходу матча был момент, когда сборной России оставалось забить столько голов, сколько уже забила сборная Туниса.

Трое друзей играли в шашки. Один из них сыграл 25 игр, а другой – 17 игр. Мог ли третий участник сыграть   а) 34;   б) 35;   в) 56 игр?

В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Каждая команда играет с каждой из остальных по 2 матча.

  а) Сколько матчей за сезон должен сыграть "Уралан"?

  б) Сколько всего матчей играется за один сезон?

Фальшивомонетчик Вася стал выпускать золотые слитки. Сделав пять таких слитков, он замерил вес каждой пары. Получились величины в 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120 и 121 унцию. Сколько весит каждый брусок?

Известно, что среди нескольких монет имеется ровно одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей (находить ее не надо), если монет а) 100; б) 99; в) 98?

Фальшивомонетчик Вася изготовил четыре монеты достоинством 1, 3, 4, 7 квача, которые должны весить 1, 3, 4, 7 граммов соответственно. Но одну из этих монет он сделал некачественно – с неправильным весом. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек определить "неправильную" монету?

а) Можно ли разложить 20 монет достоинством в 1, 2, 3, ..., 19, 20 мунгу по трём карманам так, чтобы в каждом кармане оказалась одинаковая сумма денег?б) А если добавить еще один тугрик? (Как известно, один тугрик равен ста мунгу.)