Олимпиадные задачи из источника «Кружки МЦНМО» - сложность 3 с решениями

По кругу расставлены 15 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа такие, что после их выкидывания оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.

Расшифровать пример на умножение, если буквой Ч зашифрованы чётные числа, а буквой Н – нечётные. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102865/problem_102865_img_2.gif"></div>

Двое пишут 2<i>k</i>-значное число, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй. Третью снова первый и т.д. Может ли первый добиться того, чтобы полученное число делилось на 9, если второй хочет этому помешать? Рассмотреть случаи:   а)  <i>k</i> = 10;   б)  <i>k</i> = 15.

<b><em>Попугаи.</em></b>Собрались три попугая — Гоша, Кеша и Рома. Один из них всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий — хитрец, он иногда говорит правду, иногда лжет. На вопрос: «Кто Кеша?» — попугаи ответили так: Гоша: — Кеша лжец. Кеша: — Я хитрец! Рома: — Он абсолютно честный попугай. Кто же из попугаев честный, кто лжец, а кто хитрец?

Можно ли в кружочках расставить все цифры от 0 до 9 так, чтобы сумма трёх чисел по любому из шести отрезков была бы одной и той же? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/88335/problem_88335_img_2.gif"></div>

<b> Шесть на два.</b>Восстановите числовой пример на деление <div align="center"><img src="/storage/problem-media/88333/problem_88333_img_2.gif"></div><br clear="all">

В одной вершине куба написано число 1, а в остальных – нули. Можно прибавлять по единице к числам в концах любого ребра.

Можно ли добиться, чтобы все числа делились  а) на 2;  б) на 3?

Бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3 и 5 г. Среди четырех бронзовых монет (по одной из каждого номинала) одна фальшивая — отличается от настоящих по весу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

Кащей Бессмертный загадывает три натуральных числа:<var>a</var>,<var>b</var>,<var>c</var>. Иван Царевич должен назвать ему три числа:<var>X</var>, <var>Y</var>, <var>Z</var>, после чего Кащей сообщает ему сумму<var>aX</var> + <var>bY</var> + <var>cZ</var>, затем Иван Царевич говорит еще один набор чисел<var>x</var>, <var>y</var>, <var>z</var>и Кащей сообщает ему сумму<var>ax</var> + <var>by</var> + <var>cz</var>. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Какие числа он должен загадать, чтобы остаться в живых?

Найдется ли такое <i>n</i>, при котором  <img align="middle" src="/storage/problem-media/88296/problem_88296_img_2.gif" width="141" height="41"> ?   А больше 1000?

Укажите какое-нибудь целое положительное <i>n</i>, при котором

  а)  1,001^<i>n</i> > 10;

  б)  0,999^<i>n</i> < 0,1.

Если имеется 100 любых целых чисел, то среди них всегда можно взять несколько (или может быть одно) так, что в сумме они дадут число, делящееся на 100. Доказать.