Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 11 класса - сложность 1 с решениями

Найдите коэффициент при <i>x</i> у многочлена  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>)...(<i>x – z</i>).

Докажите следующие свойства функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) (определения функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>):

  а)  <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) = <img width="93" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61522/problem_61522_img_2.gif">,  где  <i>h_m</i>(<i>x</i>) = (1 – <i>x</i>)(1 – <i>x</i>²)...(1 – <i>x^m</i>)   (<i>h</i>₀(<i>x</i>) = 1)...

Вычислите функции <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) при  0 ≤ <i>k + l</i> ≤ 4  и покажите, что все они являются многочленами.

Определение многочленов Гаусса <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>.

Докажите, что геометрическая прогрессия{<i>a</i>_n} =<i>bx</i>₀ⁿудовлетворяет соотношению (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.2</a>) тогда и только тогда, когда<i>x</i>₀-- корень характеристического уравнения (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i>_n}.

<i>Определение.</i>Последовательность чисел<i>a</i>₀,<i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n,..., которая удовлетворяет с заданными<i>p</i>и<i>q</i>соотношению<div><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER"> <i>a</i>_n+2=<i>p</i><i>a</i>_n+1+<i>q</i><i>a</i>_n </td><td> (<i>n</i>=0,1,2,...)</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (11.2)</td></tr> </tab...

<i>Определение.</i>Пусть функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)<i>гармонической</i>, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)=1/4(<i>f</i>(<i>x</i>+1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>-1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+1) +<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>-1)). Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и<...

Найдите последовательность {<i>a</i>_n} такую, что$\Delta$<i>a</i>_n=<i>n</i>². Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы1²+ 2²+ 3²+...+<i>n</i>².

Пусть даны последовательности чисел {<i>a</i>_n} и {<i>b</i>_n}, связанные соотношением$\Delta$<i>b</i>_n=<i>a</i>_n,    (<i>n</i>= 1, 2,...). Как связаны частичные суммы<i>S</i>_nпоследовательности {<i>a</i>_n}<div align="CENTER"> <i>S</i>_n = <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ +...+ <i>a</i>_n </div>с последовательностью {<i>b</i>_n}?

Найдите <table> <tr><td align="LEFT">а) $\Delta$<i>n</i>²;    </td> <td align="LEFT">в) $\Delta$<i>n</i>^k;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\Delta$<i>n</i>(<i>n</i> - 1);    </td> <td align="LEFT">д) $\Delta$<i>C</i>_n^k.</td> </tr> </table>

Предположим, что имеется набор функций  <i>f</i>₁(<i>x</i>), ...,  <i>f_n</i>(<i>x</i>), определённых на отрезке  [<i>a, b</i>].  Докажите неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61400/problem_61400_img_2.gif"> </div>

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61379/problem_61379_img_2.gif">

Докажите для положительных значений переменной неравенство  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61364/problem_61364_img_2.gif">

Докажите, что функцияcos$\sqrt{x}$не является периодической.

Докажите, что точка  <i>m</i> = ¹/₃ (<i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃)  является точкой пересечения медиан треугольника <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃.

Докажите, что прямая, проходящая через точки <i>z</i>₁ и <i>z</i>₂ – это геометрическое место точек <i>z</i>, для которых  <img width="57" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61178/problem_61178_img_2.gif"> = <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61178/problem_61178_img_3.gif">.

z₂, <i>z</i>₁, <i>z</i>₀ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_2.gif">   – вещественное число, или   <img width="57" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_3.gif"> = <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_4.gif">.

Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точке <i>z</i>₀ и проходящими через точки <i>z</i>₁ и <i>z</i>₂, равен аргументу отношения  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61176/problem_61176_img_2.gif">

Пусть <i>z</i>₁ и <i>z</i>₂ – фиксированные точки комплексной плоскости. Дайте геометрическое описание множеств всех точек <i>z</i>, удовлетворяющих соотношениям:

  а)  arg <img width="50" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61175/problem_61175_img_2.gif"> = 0;   б)  arg <img width="50" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61175/problem_61175_img_3.gif"> = 0.

Докажите, что числа <i>w_k</i>  (<i>k</i> = 0, ..., <i>n</i> – 1),  являющиеся корнями уравнения  <i>wⁿ</i> = <i>z</i>,  при любом  <i>z</i> ≠ 0  располагаются в вершинах правильного <i>n</i>-угольника.

Решите в комплексных числах следующие квадратные уравнения:

&nbsp а)  <i>z</i>² + <i>z</i> + 1 = 0;   б)  <i>z</i>² + 4<i>z</i> + 29 = 0;   в)  <i>z</i>² – (2 + <i>i</i>)<i>z</i> + 2<i>i</i> = 0;   г)  <i>z</i>² – (3 + 2<i>i</i>)<i>z</i> + 6<i>i</i> = 0;   д)  <i>z</i>² – (3 – 2<i>i</i>)<i>z</i> + 5 – 5<i>i</i> = 0;   е)  <i>z</i>² – (5 + 2<i>i</i>)<i>z</i> + 5 + 5<i>i</i> = 0.

Вычислите

&nbsp а)  <img width="58" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_2.gif">; &nbsp б) &nbsp<img width="87" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_3.gif">;   в)  <img width="74" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_4.gif">;   г)  <img width="74" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61080/problem_61080_img_5.gif">;   д)  <img width="79" height="35&...

Докажите, что квадратные корни из комплексного числа  <i>z = a + ib</i>  находятся среди чисел <div align="CENTER"><i>w</i> = ± <img width="20" height="74" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61079/problem_61079_img_2.gif"><img width="114" height="74" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61079/problem_61079_img_3.gif"> ± <i>i</i> <img width="114" height="74" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61079/problem_61079_img_4.gif"><img width="20" height="74" align="MIDDLE" border="0" sr...

Докажите равенство   (<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>u</i>² + <i>v</i>²) = (<i>au + bv</i>)² + (<i>av – bu</i>)².

Докажите, что для произвольных комплексных чисел <i>z</i>> и <i>w</i> выполняется равенство  |<i>z + w</i>|² + | <i>z – w</i>|² = 2(|<i>z</i>|² + |<i>w</i>|²).

Какой геометрический смысл оно имеет?

Запишите с помощью неравенств следующие множества точек на комплексной плоскости:

  а) полуплоскость, расположенная строго левее мнимой оси;

  б) первый квадрант, не включая координатных осей;

  в) множество точек, отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее 2;

  г) полукруг радиуса 1 (без полуокружности) с центром в точке <i>O</i>, расположенный не выше действительной оси.