Олимпиадные задачи из источника «1983 год» для 2-10 класса - сложность 3 с решениями

В Швамбрании <i>N</i> городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что

  а) волшебник может это сделать;

  б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;

  в) существует единственный путь, обходящий все города;

  г) волшебник может осуществить своё намерение <i>N</i>! способами.

Правильный 4<i>k</i>-угольник разрезан на параллелограммы. Доказать, что среди них не менее <i>k</i> прямоугольников. Найти их общую площадь, если длина стороны 4<i>k</i>-угольника равна <i>a</i>.

Докажите для каждого натурального числа  <i>n</i> > 1  равенство:   [<i>n</i>^1/2] + [<i>n</i>^1/3] + ... + [<i>n</i>^1/<i>n</i>] = [log_₂<i>n</i>] + [log_₃<i>n</i>] + ... + [log<i>_nn</i>].

Из произвольной точки <i>M</i> внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры <i>MK</i>₁, <i>MK</i>₂, <i>MK</i>₃ на его стороны. Докажите, что <!-- MATH \begin{displaymath} \overrightarrow{MK_{1}} + \overrightarrow{MK_{2}} + \overrightarrow{MK_{3}} = \frac{3}{2}\cdot \overrightarrow{MO}, \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> $\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$^.$\displaystyle \overrightarrow{MO}$, </div>где<i>O</i>— центр треугольника.

а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены пятью хордами. Обязательно ли среди них найдутся две хорды одинаковой длины?б) 20 точек, делящие окружность на 20 равных дуг, попарно соединены 10 хордами. Докажите, что среди них обязательно найдутся две хорды одинаковой длины?