Олимпиадные задачи из источника «выпуск 8»

В Швамбрании <i>N</i> городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что

  а) волшебник может это сделать;

  б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;

  в) существует единственный путь, обходящий все города;

  г) волшебник может осуществить своё намерение <i>N</i>! способами.

Натуральные числа <i>M</i> и <i>K</i> отличаются перестановкой цифр.

Доказать, что

  а) сумма цифр числа 2<i>M</i> равна сумме цифр числа 2<i>K</i>;

  б) сумма цифр числа ^<i>M</i>/₂  равна сумме цифр числа ^<i>K</i>/₂  (если <i>M</i> и <i>K</i> чётны);

  в) сумма цифр числа 5<i>M</i> равна сумме цифр числа 5<i>K</i>.

Правильный 4<i>k</i>-угольник разрезан на параллелограммы. Доказать, что среди них не менее <i>k</i> прямоугольников. Найти их общую площадь, если длина стороны 4<i>k</i>-угольника равна <i>a</i>.