Олимпиадные задачи из источника «выпуск 7» - сложность 1-4 с решениями
выпуск 7
НазадНайдите наименьшее число вида а) |11<sup><i>k</i></sup> – 5<sup><i>n</i></sup>|; б) |36<sup><i>k</i></sup> – 5<sup><i>n</i></sup>|; в) |53<sup><i>k</i></sup> – 37<sup><i>n</i></sup>|, где <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа.
На отрезке [0; 1] задана<nobr>функция <i>f</i>.</nobr>Эта функция во всех точках неотрицательна,<nobr><i>f</i>(1) = 1,</nobr>наконец, для любых двух неотрицательных чисел<i>x</i><sub>1</sub>и<i>x</i><sub>2</sub>, сумма которых не<nobr>превосходит 1,</nobr>величина<nobr><i>f</i> (<i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub>)</nobr>не превосходит суммы величин<nobr><i>f</i>(<i>x</i><sub>1</sub>)</nobr>и<nobr><i>f</i>(<i>x</i><sub>2</sub>).</nobr>а) Докажите для любого числа <i>x</i> отрезка [0; 1] неравенство...
Для всякого ли натурального <i>n</i> можно расставить первые <i>n</i> натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?