Олимпиадные задачи из источника «1973 год» - сложность 2 с решениями
Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.
Решите в натуральных числах уравнение <i>n<sup>x</sup> + n<sup>y</sup> = n<sup>z</sup></i>.
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> таков, что уравнение <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i> не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x</i> также не имеет вещественных корней.
Найдите все решения уравнения <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>z</i></sub> = 1 в целых числах, отличных <nobr>от 1.</nobr>
На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.