Олимпиадные задачи из источника «1971 год» для 10-11 класса - сложность 5 с решениями
Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.
Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек<i>A</i><nobr>и <i>B</i></nobr>существует такая<nobr>точка <i>С</i></nobr>этого множества, что треугольник<i>ABC</i>равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?
а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.<span class="prim">(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)</span>б) Для любых двух <nobr>вершин <i>A</i></nobr> <nobr>и <i>B</i></nobr> любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника <nobr>из <i>А</i></nobr> <nobr>в <i>В</i></nobr> и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это. в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его <nobr>вершин <i>А</i></nobr> <nobr>и <i>В</i></nobr&g...
Пусть<i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>, ...,<nobr><i>l</i><sub><i>n</i></sub> —</nobr>несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке<i>X</i><sub>1</sub>,<i>X</i><sub>2</sub>, ...,<i>X</i><sub><i>n</i></sub>так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой<i>l</i><sub><i>k</i></sub>в точке<i>X</i><sub><i>k</i></sub>(для любого натурального<nobr><i>k</i> < <i>n</i>),</nobr>проходил через точку<i>X...
В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0, 001. Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит: а) 0, 34; б) 0, 287.