Докажем, что найдутся даже трипоследовательныевершины, удовлетворяющие требуемому условию. Пусть $\alpha_{i}^{}$ — угол между i-й и (i+ 1)-й сторонами, $\beta_{i}^{}$=$\pi$-$\alpha_{i}^{}$, а a_i — длина i-й стороны. а) Площадь треугольника, образованного i-й и (i+ 1)-й сторонами, равна S_i= (a_ia_{i + 1}sin$\alpha_{i}^{}$)/2. Пусть S — наименьшая из этих площадей. Тогда 2S$\leq$a_ia_{i + 1}sin$\alpha_{i}^{}$, поэтому (2S)ⁿ$\leq$(a₁²...a_n²)(sin$\alpha_{1}^{}$...sin$\alpha_{n}^{}$)$\leq$a₁²...a_n². Согласно неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим (a₁...a_n)^1/n$\leq$(a₁+ ... +a_n)/n, поэтому 2S$\leq$(a₁...a_n)^2/n$\leq$(a₁+ ... +a_n)²/n². Так как a_i$\leq$p_i+q_i, где p_iи q_i — проекции i-й стороны на вертикальную и горизонтальную стороны квадрата, то a₁+ ... +a_n$\leq$(p₁+ ... +p_n) + (q₁+ ... +q_n)$\leq$4. Поэтому 2S$\leq$16n², т. е. S$\leq$8/n². б) Воспользуемся доказанным выше неравенством 2S$\leq$(a₁...a_n)^2/n(sin$\alpha_{1}^{}$...sin$\alpha_{n}^{}$)^1/n$\leq$${\frac{16}{n^2}}$(sin$\alpha_{1}^{}$...sin$\alpha_{n}^{}$)^1/n. Так как sin$\alpha_{i}^{}$= sin$\beta_{i}^{}$и $\beta_{1}^{}$+ ... +$\beta_{n}^{}$= 2$\pi$, то (sin$\alpha_{1}^{}$...sin$\alpha_{n}^{}$)^1/n= (sin$\beta_{1}^{}$...sin$\beta_{n}^{}$)^1/n$\leq$($\beta_{1}^{}$+ ... +$\beta_{n}^{}$)/n= 2$\pi$/n. Поэтому 2S$\leq$32$\pi$/n³, т. е. S$\leq$16$\pi$/n³.

Ответ задачи отсутствует