Задача
Внутри выпуклого четырехугольника ABCDплощади Sвзята точка O, причем AO2+BO2+CO2+DO2= 2S. Докажите, что тогда ABCD — квадрат и O — его центр.
Решение
Имеем 2SAOB$\leq$AO . OB$\leq$(AO2+BO2)/2, причем равенство возможно, только если $\angle$AOB= 90oи AO=BO. Аналогично 2SBOC$\leq$(BO2+CO2)/2, 2SCOD$\leq$(CO2+DO2)/2 и 2SDOA$\leq$(DO2+AO2)/2. Складывая эти неравенства, получаем 2S= 2(SAOB+SBOC+SCOD+SDOA)$\leq$AO2+BO2+CO2+DO2, причем равенство возможно, только если AO=BO=CO=DOи $\angle$AOB=$\angle$BOC=$\angle$COD=$\angle$DOA= 90o, т. е. ABCD — квадрат и точка O — его центр.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет