Задача
В окружность радиуса Rвписан многоугольник площади S, содержащий центр окружности, и на его сторонах выбрано по точке. Докажите, что периметр выпуклого многоугольника с вершинами в выбранных точках не меньше 2S/R.
Решение
Пусть на сторонах A1A2,A2A3,...,AnA1выбраны точки B1,...,Bn; O — центр окружности. Пусть далееSk=SOBkAk + 1Bk + 1= (OAk + 1 . BkBk + 1sin$\varphi$)/2, где $\varphi$ — угол между OAk + 1и BkBk + 1. Так как OAk + 1=Rи sin$\varphi$$\leq$1, то Sk$\leq$(R . BkBk + 1)/2. Поэтому S=S1+ ... +Sn$\leq$R(B1B2+ ... +BnB1)/2, т. е. периметр многоугольника B1B2...Bnне меньше 2S/R.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет