Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. ГМТ - окружность или дуга окружности» - сложность 4 с решениями
параграф 2. ГМТ - окружность или дуга окружности
НазадТреугольник <i>ABC</i>правильный, <i>M</i> — некоторая точка. Докажите, что если числа <i>AM</i>,<i>BM</i>и <i>CM</i>образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.
Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой<i>KO</i>, где<i>O</i>— центр описанной окружности,<i>K</i>— точка Лемуана.
Пусть <i>AD</i>и <i>AE</i> — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника <i>ABC</i>и <i>S</i><sub>a</sub> — окружность с диаметром <i>DE</i>, окружности <i>S</i><sub>b</sub>и <i>S</i><sub>c</sub>определяются аналогично. Докажите, что: а) окружности <i>S</i><sub>a</sub>,<i>S</i><sub>b</sub>и <i>S</i><sub>c</sub>имеют две общие точки <i>M</i>и <i>N</i>, причем прямая <i>MN</i>проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>; б) проекции точки <i>M</i>(и точки <i>N</i>) на стороны треугольника <i>ABC&...