Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Вписанные и описанные четырехугольники» - сложность 1-2 с решениями

Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны.

Четырехугольник <i>ABCD</i>описан около окружности с центром <i>O</i>. Докажите, что $\angle$<i>AOB</i>+$\angle$<i>COD</i>= 180^<tt>o</tt>.

Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырехугольник — ромб.

Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.